Благовещенский Юрий Николаевич,
Фонд ИНДЕМ,
Москва

Возможности статистики в обнаружении нарушений (выборы в Думу-2003)

Закон Ципфа-Парето и границы его применимости

В книге "Демократия, ограниченная фальсификациями" (А.А. Собянин, В.Г. Суховольский, Москва, 1995), на которую мы будем ещё ссылаться, авторы утверждают, что закон Ципфа-Парето, связывающий логарифм числа голосов за участника выборов с логарифмом его места линейной зависимостью, является критерием "свободной конкуренции". Приведем несколько цитат из этой книги, сопровождая их пояснениями.

1. "В результате работ нашей исследовательской группы в 1990-1993 гг. была вы-явлена статистическая связь между числом голосов, полученных на выборах различ-ными кандидатами и различными партиями".

Для понимания последующих цитат необходимо ввести некоторые обозначения. Пусть - число голосов, поданных за того участника выборов (кандидат на выборную должность или избирательный блок при выборах в законодательное собрание), который занял в итоге место среди участников ( ).

2. "Было установлено, что эта связь описывается простой зависимостью:

. (1)

Анализ результатов выборов народных депутатов России в 1990 г, выборов Прези-дента России, анализ данных выборов во многих странах, начиная с выборов Прези-дента Франции в 1848, где победил Луи-Наполеон Бонапарт, подтверждают справед-ливость выведенного уравнения (1)."

3. "Все мыслимое многообразие ситуаций, причнно-следственных связей и объектов не меняет характера этой зависимости: коль скоро имеет место свободная конкурен-ция, ее результаты в любом случае лягут на "логарифмическую прямую" - меняться будет лишь расположение (константа А) и крутизна (В) наклона этой прямой. И на-оборот: коль скоро имеют место отклонения от условий свободной конкуренции, точ-ки неминуемо отклонятся от прямой - и тем дальше, чем значительней "фактор не-свободы"…".

4. "Выполнение уравнения (1) для выборного процесса означает, что существует "свободная конкуренция" всех кандидатов, имеющих возможность беспрепятственно объяснить свои политические взгляды и политическую платформу избирателям."

Предложения, содержащиеся в цитатах 3 и 4, являются как бы прямой и обратной теоремами: в 3-й цитате утверждается, что из свободной конкуренции следует закон Ципфа-Парето, а в 4-й - что из выполнения этого закона вытекает существование свободной конкуренции. Однако это скорее желание авторов, чем истина в последней инстанции. Буквально несколькими фразами дальше они приводят следующую цитату.

5. "Выполнение закона Ципфа-Парето для выборного процесса означает, что каж-дый из кандидатов, каждая из партий, политических групп избирателей, голосующих по определенному типу, обладает своей собственной, не перекрывающейся со всеми остальными, политический платформой."

Заметим, что здесь указывается на один очень важный фактор: закон Ципфа-Парето обуславливается наличием у участников политической платформы, не перекры-вающейся со всеми остальными, своей собственной. Тем самым, если несколько "пар-тий" практически неотличимы, т.е. их политические платформы по сути не отличаются, а персональный состав представлен лидерами одного психологического типа (а кто его знает?…), то едва ли такие условия можно считать подходящими для выполнения (1).

Другими словами, закон Ципфа-Парето является некой идеальной моделью, ко-торая реализуется при наличии ряда идеальных условий, которые в реальном мире нико-гда не будут выполняться точно. А по сему, отклонения от него происходит не только за счёт фальсификации выборов, как утверждают авторы вышеназванной книги, но и за счет других, естественных отклонений от модельных условий. Одно из них было под-мечено (хотя и вскользь) самими авторами: в российском политическом пространстве сплошь и рядом мы можем наблюдать партии (кандидатов, избирательные блоки), чьи "лозунги" практически неразличимы, и выбор между ними избиратель может сделать лишь случайно, по второстепенным факторам (приятная внешность лидера, легко запоми-нающаяся аббревиатура названия партии и т.п.), - проекция цитаты 5 на наше "сегодня".

Другим ограничением применимости закона Ципфа-Парето является существо-вание динамичных страт населения, связанных с фактором адаптации к происходящим в стране изменениям. В исследованиях ИНДЕМ выделялись, например, 4 группы:

1. Неадаптированные маргиналы - это слои населения, резко потерявшие в постпере-строечное время в жизненном уровне и в социальном статусе, совершенно не адап-тировавшиеся к новым условиям.
2. Частично адаптированные (социально-ригидные) - в большинстве это представите-ли бывшего советского "среднего класса" (техническая интеллигенция, врачи учи-теля, высоко квалифицированные рабочие и т.п.), сохранившие свои социальные ниши, но слабо адаптировавшиеся к новым условиям.
3. Пассивные адаптанты, (адаптанты к среде) - это адаптировавшиеся к новым усло-виям слои населения, научившиеся приспосабливаться, выживать и даже увеличи-вать свое благосостояние граждане (сущность - в возможности приспособиться за счет себя к любым условиям, изменить себя в соответствии с требованиями среды).
4. Активные адаптанты, (адаптанты среды) - это тоже адаптировавшиеся к новым ус-ловиям слои населения, однако эти люди приспосабливают среду под себя, делая ее максимально удобной и не чураясь при этом нарушением общепринятых правил.

Представим теперь, что имеется всего 4 партии, "обслуживающие" эти 4 группы, каждая свою, играя каждая "на своем поле". И если считать, что они собирают электо-ральный урожай примерно одинаково хорошо, то соотношение голосов будет примерно пропорционально размерам этих групп, так что базовой моделью будет не закон Цип-фа-Парето, а модель стратификации по фактору адаптации, а это не одно и то же.

И конечно же, "главным свидетелем" существования ограничений являются са-ми данные голосований на выборах в Государственную Думу по 225 избирательным округам, декабрь 2003 г.

Предварительный анализ данных

Наиболее характерной картиной графического представления голосовательных данных вдоль прямой Ципфа-Парето является очевидное разделение участников при-мерно на три группы: лидеры (5-10 партий), аутсайдеры (7-12 партий) и средние (се-реднячки), количество которых колеблется около 7. Такой расклад достаточно хорошо выражен для подавляющего числа избирательных округов (из 225), - для примера мы взяли данные голосований по Москве в целом (рис.1, список 7 лидеров приводится в таблице 1). В левом верхнем углу показана кривая Парето по всем 24 позициям (23 блока и позиция "Против всех"): хорошо видно, что лидеры, средние и аутсайдеры (7, 7 и 10 точек) имеют как бы свои собственные прямые, свои собственные законы Ципфа-Парето. Это подтверждают и статистические расчеты: стандартный показатель качества R2 (квадрат коэффициента корреляции между и ) для каждой группы отдельно больше 0,96, тогда как для всех вместе он равен всего 0,91 (в этом диапазоне такое различие можно считать значительным).

Конечно, приведенные данные в некотором смысле "идеальны", поскольку в других избирательных округах серединка достаточно часто оказывается столь сложно организованной, что трудно говорить о какой-либо теоретической модели для их пред-ставления, хотя лидеры и аутсайдеры, как правило, вполне хорошо описываются моде-лью Ципфа-Парето.

Рис.1. Закон Ципфа-Парето для данных голосований в ГД по партийным спискам в Москве.

По оси абцисс - логарифм занятого места, по оси ординат - логарифм числа голосов (%).

Разбор аномалий

Из предварительного анализа (всех 225 избирательных округов) следует, что плохое согласие с законом Ципфа-Парето по всему списку блоков ни в коей мере не говорит о наличии аномалий и, тем самым, о фальсификации в данных. Дело в том, что реальная борьба за голоса избирателей происходит как бы в нескольких плоскостях: за основную массу электората борются всего несколько лидеров, 5-10 блоков, а остальные политические партии и объединения "питаются на другом поле". Без специального со-циологического исследования сложно определить особенности той страты, которая го-лосует за "середнячков", но можно с большой уверенностью предполагать, что это - особая группа населения, со своими характерными чертами. Аналогично обстоит дело и с аутсайдерами, причем первые 7 блоков забирают в среднем около 90% голосов от всех голосующих, средние 7 - от 7% до 12% и аутсайдеры разбирают между собой 2-4%.

Мы считаем, что ловить аномалии следует лишь среди лидеров: если происходят какие-либо вмешательства в процесс голосования от тех или иных властей, то они за-трагивают в основном лишь соотношение голосов, поданных за лидеров. С другой сто-роны, именно лидеры составляют тех акторов избирательного процесса, для которых можно ожидать соответствие закону Ципфа-Парето. Рассмотрим пример голосований в Кабардино-Балкарии, где по официальным данным за Единую Россию было подано свыше 75% голосов при явке в почти 75%, тогда как следующая за ней КПРФ немного не добрала до 7,5% (в 10 раз меньше!). Графическое представление результатов голосо-вания дано на рисунке 2. Отметим, что согласие с кривой Парето весьма высокое, но как показывает рисунок 3, Единая Россия явно выпадает из данных среди 9 лидеров (при отбрасывании 15 блоков, собравших вместе меньше 3% голосов).

Рис.2. Графическое представление данных о голосовании в Кабардино-Балкарии

Рис.3. Девять лидеров на кривой Парето (Кабардино-Балкария)

Здесь уже хорошо видно, что "правила игры", которые порождает "свободная конкуренция", заведомо не соблюдались партией "Единая Россия". Более того, такое преимущество никак нельзя объяснить "лишними бюллетенями" (без использования других ресурсов пришлось бы добавить более 40% от числа проголосовавших).

Анализ, основанный на разделении политических блоков на лидеров (в разных избирательных округах число состав лидеров может различаться), позволяет во многих случаях отчетливо увидеть аномалии в результатах голосований. Конечно, наличие аномалии еще не свидетельствует о нарушениях, но часто дает весомые основания для сомнений в честной борьбе между партиями за избирателя.